Nexus 7 で pi を計算する C4droid_examples


20121104-175618


結局今回は使わなかった Nexus 7 のアプリ、C4droid (C/C++ compiler)Link n0n3m4 に付いている examples の中に、円周率を計算するサンプルコードがある。初期値2の p を、p*=((double)(((int)((i+2)/2))*2))/(((int)((i+1)/2))*2+1); で百万回回している。その割に、実行結果は、Pi = 3.141591 ・・・小数点以下5桁までしか正しくない。しょぼい。何だこりゃ?

探しましたがな。
John Wallis(1616/11/23-1703/10/28) の Arithmetica Infinitorum (1656)に出てくる、いわゆるウォリス積


かっちょよく書くと

無限乗積だ!こりやぁ収束遅いわ。式はとっても美しいんだけど。ちょっと見てみる?
Wallis
ここがexcel2010の底だよー。初めて見たでしょ。

Excel2010の行を使い尽くしてみた。超弩級に重たい。D列が近似値で、E列が真値との誤差。1,048,573回回しても小数点以下5桁までしか正しくないことが分かる。

何故、斯様な式を examples としたのか、全く意図がわからない。関孝和遺編「括要算法 貞」の、355/113 = 3.141592920・・・の方がよっぽどましだ。

ちなみに、おなじみ、Machinの公式。

Machin


arctan をTaylor展開する。9回回して小数点以下14桁をクリア。

いつもの「GNU/Linux上で円周率の計算をおこなうLink 」は、Gauss AGM。
初期値

に対し

を行うと円周率の近似値は

Gauss_AGM


わずか3回のループで小数点以下14桁をクリア。実はこの時点で小数点以下18桁までクリアしている。このアルゴリズム、pn が曲者で、1024ループあたりで変数がオーバーフローしてしまう。浮動小数点で計算するのはこの辺が限度ということだ。

実際の多桁円周率計算は、多倍長整数で計算しなければならない。

最近のトレンドは、Chudnovsky algorithm だそうな。



一項目、640320^(3/2) / 12 / 13591409 を電卓で計算すると、3.1415926535897342076684535915783・・・すげ!
二項目で27桁まで計算できちゃうみたい。

円周率を1億桁計算しました! — その試行錯誤の詳しい経緯と結果Link  プログラムモグモグ itchynyさん

Machin と Gauss_AGM の xlsx ファイルを下に置いとくので好きにして頂戴。Wallis は、70MByteもあって、ppblog に撥ねられちゃったので断念。残念。

「ウォリス一万尺」バージョンを置いときました。小数点以下3桁あたりをうろちょろしています。最終行を思う存分コピーしてください。パソコン固まっても知らないよ。自己責任。





 

— posted by nitobe at 05:59 pm   commentComment [0]  pingTrackBack [0]

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